Контрольная работа №1. Арифметика натуральных чисел. Делимость. НОД и НОК

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 6-х классов и входит в систему тематического контроля по курсу математики.

Она полностью соответствует структуре и содержанию УМК А.Г. Мерзляка и ориентирована на проверку фундаментальных знаний по разделу «Натуральные числа», который является базой для всего последующего изучения математики.

Работа охватывает ключевые понятия теории делимости: признаки делимости, разложение на простые множители, нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти навыки не только закрепляют вычислительную культуру, но и формируют основу для работы с обыкновенными дробями (сокращение, приведение к общему знаменателю) в следующих темах.

1. Обзор структуры работы

Контрольная работа состоит из семи заданий, которые последовательно охватывают все основные темы раздела:

• Признаки делимости (Задание 1) — проверка умения применять признаки делимости на 5 и на 9 для отбора чисел из множества.
• Разложение на простые множители (Задание 2) — отработка алгоритма канонического разложения составного числа.
• Нахождение НОД (Задание 3) — вычисление наибольшего общего делителя для двух пар чисел (двузначных и трёхзначных).
• Нахождение НОК (Задание 4) — вычисление наименьшего общего кратного для трёх пар чисел (включая случаи, когда одно число кратно другому, и когда числа взаимно просты).
• Доказательство взаимной простоты (Задание 5) — проверка понимания сути взаимной простоты через анализ множества простых делителей.
• Обратная задача на признак делимости (Задание 6) — подбор неизвестной цифры в записи числа по условию кратности 3.
• Текстовая задача на НОК (Задание 7) — применение теории делимости к практической ситуации (нахождение числа по кратности двум делителям в заданном интервале).

Цель работы: Проверить сформированность вычислительных навыков в области теории делимости, умение применять признаки делимости, раскладывать числа на простые множители, находить НОД и НОК, а также решать текстовые задачи с использованием этих понятий.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый. Все задания соответствуют обязательному минимуму содержания образования и направлены на отработку стандартных алгоритмов, предусмотренных программой 6 класса.

Методика построения работы опирается на принцип от простого к сложному и вариативность:

1. Первый этап (Задания 1–2): Начало работы с простейших операций. В задании 1 учащийся применяет готовые правила (признаки делимости), которые легко проверяются по последней цифре или сумме цифр. Задание 2 требует воспроизведения стандартного алгоритма деления на простые множители. Эти задачи носят репродуктивный характер и позволяют ученику «разогреться» перед более сложными заданиями.

2. Второй этап (Задания 3–4): Переход к комбинированным вычислениям. Нахождение НОД и НОК требует не просто знания алгоритма, но и умения правильно раскладывать числа на множители, а затем корректно выбирать общие (для НОД) или все (для НОК) простые множители с нужными показателями. Включение в задание 4 сразу трёх пар чисел с разными свойствами (одно кратно другому, взаимно простые числа, стандартный случай) позволяет проверить, понимает ли ученик суть НОК или действует механически.

3. Третий этап (Задания 5–6): Усиление аналитического компонента. Задание 5 требует не просто найти НОД, а доказать отсутствие общих делителей, что предполагает содержательный анализ разложений. Задание 6 — это обратная задача на признак делимости, где ученик должен не проверить готовое число, а подобрать неизвестную цифру, перебирая все возможные варианты. Это развивает гибкость мышления и умение работать с неполными данными.

4. Четвёртый этап (Задание 7): Применение теории к практике. Текстовая задача объединяет знание НОК и умение работать с числовым интервалом. Ученик должен перевести условие на математический язык, найти общее кратное и отобрать единственное значение в заданном диапазоне. Это задание является дифференцирующим — оно показывает, способен ли школьник интегрировать полученные знания в нетиповой ситуации.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ содержания заданий позволяет выделить несколько характерных «точек преткновения», где учащиеся 6 класса допускают ошибки чаще всего:

1. Невнимательное применение признака делимости на 9. Вместо того чтобы найти сумму всех цифр числа и проверить её кратность 9, ученики иногда путают этот признак с признаком делимости на 3 и ошибочно считают, что достаточно суммы, кратной 3. Особенно часто ошибка возникает у чисел с большим количеством разрядов (например, $3\,251$), когда сумма цифр вычисляется небрежно.

2. Потеря или дублирование простых множителей при разложении. При выполнении задания 2 и последующих (НОД, НОК) ученики часто пропускают повторяющиеся множители или, наоборот, записывают лишние. Например, в разложении $1\,584$ легко забыть про четвёртую двойку или про множитель $11$. Это происходит из-за несистемного деления — когда ученик делят «удобные» части числа вместо последовательного деления на простые числа.

3. Путаница в правилах выбора множителей для НОД и НОК. Это самая распространённая содержательная ошибка. Для НОД ученики берут все множители (как для НОК), а для НОК — только общие. Особенно ярко это проявляется в задании 3, где числа $180$ и $312$ имеют общую степень двойки и тройки. Многие школьники записывают в НОД произведение $2^3 \cdot 3^2$, копируя наибольшие степени, вместо наименьших.

4. Ошибки в текстовой задаче на НОК. Ученики часто забывают, что число фигурок должно быть одновременно кратно 9 и 15, и пытаются просто подобрать число из интервала, которое делится на одно из этих чисел. Кроме того, встречается ошибка, когда найденное НОК (45) умножается на произвольный коэффициент, но результат проверяется лишь по одному условию — на попадание в интервал, без проверки кратности обоим делителям.