Контрольная работа №6. Площади фигур: треугольник и описанная трапеция

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 8-х классов, завершающих изучение темы «Площади фигур» по УМК Л.С. Атанасяна.

Работа сфокусирована на двух ключевых типах задач: вычисление площади равнобедренного треугольника через нестандартную высоту (проведённую не к основанию, а к боковой стороне) и применение свойств описанной трапеции для нахождения её площади.

Обе задачи требуют от учащихся не просто подстановки чисел в готовую формулу, а построения логических цепочек, применения теоремы Пифагора и свойств вписанной окружности.

1. Обзор структуры работы

Контрольная работа включает два задания, каждое из которых проверяет самостоятельную содержательную линию:

• Задание 1 (Равнобедренный треугольник): задача на вычисление площади через основание и высоту, проведённую к боковой стороне. Ключевые элементы — теорема Пифагора в $\triangle BHC$ и уравнение из равенства боковых сторон в $\triangle ABH$.
• Задание 2 (Описанная трапеция): задача на вычисление площади равнобедренной трапеции, описанной около окружности, по радиусу вписанной окружности и длине боковой стороны. Ключевые элементы — связь высоты трапеции с диаметром вписанной окружности и свойство описанного четырёхугольника (суммы противолежащих сторон равны).

Распределение заданий по типу деятельности:
- Задачи на комбинацию теорем (Пифагор + равенство боковых): задание 1.
- Задачи на свойства вписанной окружности и описанных многоугольников: задание 2.

Цель работы: проверить сформированность следующих навыков:
- умение применять теорему Пифагора в составных геометрических конфигурациях;
- способность находить неизвестную сторону через равенство боковых в равнобедренном треугольнике;
- знание свойств описанных четырёхугольников и умение применять их при вычислении площади;
- умение интегрировать несколько геометрических фактов в единое решение (высота = диаметр, сумма оснований = сумма боковых сторон, формула площади трапеции).

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с элементами повышенного уровня. Обе задачи находятся в рамках стандартной программы 8 класса, однако требуют не механического воспроизведения формул, а активного анализа и синтеза.

Методика построения работы опирается на принцип нарастания абстракции и развития нестандартного взгляда:

1. Задание 1 (скрытая цепочка рассуждений). Учащийся не может напрямую вычислить площадь по формуле $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, потому что дана высота не к основанию, а к боковой стороне. Приходится строить цепочку:

   • шаг 1 — найти отрезок $HC$ по теореме Пифагора в $\triangle BHC$;
   • шаг 2 — через равенство боковых сторон $AB = AC$ в прямоугольном $\triangle ABH$ найти боковую сторону $b$ (уравнение $b^2 = (b - HC)^2 + h_b^2$);
   • шаг 3 — вычислить площадь как $S = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$.

   Это пример задачи, где «стандартная» формула площади через основание не работает напрямую, а требует предварительного нахождения боковой стороны. Важно: неверная аналогия с высотой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ($b = a^2/HC$) даёт ложный ответ $600$ вместо верного $300$ при данных $a = 30$, $h_b = 24$.

2. Задание 2 (интеграция двух свойств). Учащийся должен применить два ключевых факта:

   • для описанного четырёхугольника: $AD + BC = AB + CD$ (суммы противоположных сторон равны);
   • для трапеции, описанной около окружности, высота равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$.

   После этого площадь находится по стандартной формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$. Сложность здесь не в вычислениях (они элементарны), а в умении «вспомнить» и правильно применить оба свойства в нужной последовательности.

Такое построение позволяет оценить не только знание формул, но и гибкость мышления — способность адаптировать известные теоремы к нетипичной постановке задачи. Обе задачи требуют от ученика увидеть за простыми числовыми данными глубокую геометрическую структуру.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ решений позволяет выделить четыре наиболее частых затруднения:

1. Ошибки в задании №1: попытка «прямого» вычисления площади.
- Ошибка: Ученик пытается найти площадь треугольника как $\dfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot 24$, принимая данную высоту за высоту к основанию. Получает $360$ вместо верного $300$.
- Причина: Невнимательное чтение условия. Формулировка «высота, проведённая из вершины основания к боковой стороне» воспринимается как «высота к основанию».

2. Ошибки в задании №1: неверная «формула подобия».
- Ошибка: Ученик находит $HC = 18$ и пишет $AC = \dfrac{BC^2}{HC} = 50$ (как для высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике), затем $S = \dfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot 24 = 600$.
- Причина: $\triangle ABC$ не прямоугольный; нужное соотношение следует из $AB = AC$ в $\triangle ABH$: $b = \dfrac{a^2}{2 \cdot HC} = 25$, откуда $S = 300$.

3. Ошибки в задании №2: забвение свойства описанного четырёхугольника.
- Ошибка: Ученик помнит, что высота трапеции равна диаметру вписанной окружности ($h = 8$), но не может найти сумму оснований. Пытается выразить основания через боковую сторону и угол, но бросает решение.
- Причина: Слабое знание свойства описанных четырёхугольников. Ученик не связывает условие «трапеция описана около окружности» с равенством сумм противолежащих сторон.

4. Ошибки в задании №2: неверное применение свойства.
- Ошибка: Ученик пишет $AD + BC = AB + CD = 20$, затем подставляет в формулу площади $S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot h = \dfrac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ — всё верно. Но затем путает, что такое $h$, и использует $h = r = 4$, получая 40.
- Причина: Механическое запоминание формулы площади трапеции и формулы для высоты описанной трапеции без понимания их происхождения. Ученик не осознаёт, что высота описанной трапеции равна ДИАМЕТРУ (а не радиусу) вписанной окружности.