Контрольная работа №3. Степени с рациональными показателями. Иррациональные уравнения и неравенства

1. Найдите значение выражения:
1) $4 \cdot 27^{\frac{1}{3}}$ 2) $64^{ - \frac{1}{6}}$ 3) $625^{0{,}75}$ 4) $\left(3 \dfrac{1}{16}\right)^{ - 0{,}5}$.
2. Упростите выражение:
1) $a^{0{,}9} \cdot a^{4{,}5}$ 2) $a^{ - \frac{4}{9}} a^{\frac{7}{18}}$ 3) $\left(a^{\frac{8}{15}}\right)^{\frac{5}{16}}$ 4) $a^{\frac{5}{12}} : a^{\frac{1}{8}}$ 5) $(a^{−0{,}6})^{3} \cdot (a^{−1{,}2})^{−4} : (a^{0{,}5})^{−3}$ 6) $\left(a^{\frac{7}{36}} b^{\frac{7}{10}}\right)^{\frac{6}{7}}$.
3. Решите уравнение:
$\sqrt{3x + 10} = x$
4. Сократите дробь:
1) $\dfrac{a - 11a^{\frac{4}{7}}}{a^{\frac{3}{7}} - 11}$ 2) $\dfrac{x^{\frac{1}{5}} - y^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{10}} + y^{\frac{1}{10}}}$ 3) $\dfrac{a^{\frac{2}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{6}} - 2a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{2}}}$.
5. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x + 1} + \sqrt[4]{x + 1} = 6$ 2) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{12 - x} = 1$.
6. Решите неравенство:
$\sqrt{10x + 11} < x$
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 10-х классов, изучающих алгебру и начала математического анализа на базовом уровне по программе УМК А.Г. Мерзляка.

Работа посвящена одному из ключевых разделов курса — обобщению понятия степени на рациональные показатели и применению этого аппарата к решению иррациональных уравнений и неравенств. Она объединяет две тесно связанные темы: действия со степенями с рациональными показателями и методы решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком корня. Работа построена таким образом, чтобы проверить как техническую беглость в выполнении преобразований, так и понимание логики решения иррациональных уравнений, где важнейшую роль играет учёт области допустимых значений.

1. Обзор структуры работы

Контрольная работа состоит из шести заданий, каждое из которых включает несколько пунктов. Всего в работе представлено семнадцать заданий (с учётом пунктов), что позволяет охватить все основные типы задач данного раздела. Задания распределены по тематическим блокам следующим образом:

  • Задание 1 (четыре пункта): проверяет умение вычислять значения числовых выражений, содержащих степени с рациональными показателями, включая случаи с отрицательными и десятичными показателями, а также со смешанными числами.
  • Задание 2 (шесть пунктов): проверяет навык упрощения алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями, с использованием всех основных свойств степеней: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень, степень произведения.
  • Задание 3 (один пункт): проверяет умение решать иррациональное уравнение вида $\sqrt{ax+b}=x$ с обязательным учётом ОДЗ и проверкой корней.
  • Задание 4 (три пункта): проверяет навык сокращения алгебраических дробей, содержащих степени с рациональными показателями, с использованием формул сокращённого умножения и вынесения общего множителя.
  • Задание 5 (два пункта): проверяет умение решать иррациональные уравнения, требующие замены переменной или двух последовательных возведений в квадрат.
  • Задание 6 (один пункт): проверяет умение решать иррациональное неравенство с учётом ОДЗ и свойств неравенств.

Цель работы: Проверить комплексный навык работы со степенями с рациональными показателями и решения иррациональных уравнений и неравенств. Работа направлена на диагностику умения применять свойства степеней в различных контекстах, выполнять тождественные преобразования выражений с корнями, а также правильно решать иррациональные уравнения и неравенства, не теряя корни и не приобретая посторонних решений.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как повышенный, поскольку большинство заданий требует не одношагового применения формул, а многоэтапных преобразований и осознанного выбора метода решения. В то же время работа остаётся доступной для учащихся, систематически изучавших курс.

Методика построения работы опирается на принцип последовательного нарастания сложности и комбинаторной насыщенности преобразований:

  1. Первый этап (Задание 1): Вычисление числовых значений степеней с рациональными показателями. Это базовая техническая задача, требующая умения переводить степень в корень, работать с отрицательными показателями и смешанными числами. На этом этапе важно правильно понимать, что $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ при $a>0$, и уметь аккуратно выполнять арифметические действия.

  2. Второй этап (Задание 2): Упрощение буквенных выражений. Здесь учащийся применяет все основные свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$. Многообразие пунктов (шесть различных комбинаций действий) позволяет проверить устойчивость навыка и умение работать с дробными и десятичными показателями без потери внимания.

  3. Третий этап (Задание 3): Решение простейшего иррационального уравнения. Это переход от чисто алгебраических преобразований к логической задаче, где ключевую роль играет анализ области допустимых значений. Уравнение $\sqrt{3x+10}=x$ требует не только возведения в квадрат, но и обязательной проверки найденных корней, так как возведение в квадрат может привести к появлению посторонних решений.

  4. Четвёртый этап (Задание 4): Сокращение дробей с рациональными показателями. Этот блок заданий требует умения «увидеть» структуру выражения: вынесение общего множителя, применение формул сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат разности) к выражениям с дробными показателями. Здесь важно понимать, что $a - kb^{r/s}$ может быть представлено как произведение, если удаётся выделить общий множитель.

  5. Пятый этап (Задание 5): Решение иррациональных уравнений с использованием замены переменной или двух возведений в квадрат. Это задания повышенного уровня, так как требуют самостоятельного выбора метода. В уравнении $\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+1}=6$ необходимо увидеть возможность замены $t=\sqrt[4]{x+1}$, что приводит к квадратному уравнению. В уравнении $\sqrt{x+1}-\sqrt{12-x}=1$ требуется дважды возводить в квадрат и внимательно следить за ОДЗ.

  6. Шестой этап (Задание 6): Решение иррационального неравенства. Это наиболее сложное задание работы, так как требует не только технических навыков, но и понимания логики решения неравенств с корнями: обязательный учёт ОДЗ, неотрицательность корня, переход к квадратному неравенству с сохранением знака, пересечение всех полученных промежутков.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ решений позволяет выделить пять ключевых «ловушек», в которые чаще всего попадают десятиклассники при выполнении данной работы:

  1. Ошибки при переводе степени с рациональным показателем в корень (Задание 1). Частая проблема — путаница в том, что является основанием степени, а что — показателем корня. В выражении $27^{1/3}$ учащиеся иногда записывают $\sqrt{27}$ вместо $\sqrt[3]{27}$, путая показатель корня (3) с привычным квадратным корнем. Также встречается ошибка в выражении $625^{0{,}75}$ — непонимание того, что $0{,}75 = \frac{3}{4}$, и попытка извлечь корень четвёртой степени из $625^3$ без предварительного упрощения основания $625=5^4$.

  2. Неправильное применение свойств степеней при сложении показателей (Задание 2). В заданиях на умножение и деление степеней с одинаковым основанием учащиеся часто ошибаются при работе с отрицательными и дробными показателями. Например, в выражении $a^{-4/9} \cdot a^{7/18}$ многие неправильно приводят дроби к общему знаменателю или ошибаются в знаках: $-4/9 + 7/18 = -8/18 + 7/18 = -1/18$ часто записывают как $+1/18$, теряя знак «минус». В комбинированных заданиях, где встречаются и умножение, и деление, и возведение в степень, потеря знака при отрицательном показателе становится ещё более вероятной.

  3. Потеря ОДЗ и посторонние корни в иррациональных уравнениях (Задания 3 и 5). Самая распространённая ошибка при решении уравнений $\sqrt{ax+b}=x$ — забыть учесть, что правая часть $x$ должна быть неотрицательной. В задании 3 после возведения в квадрат получаются два корня $x=5$ и $x=-2$. Многие учащиеся записывают оба корня в ответ, забывая проверить, что при $x=-2$ левая часть $\sqrt{-6+10}=\sqrt{4}=2$, а правая часть равна $-2$, то есть равенство не выполняется. Причина — формальное выполнение алгоритма без осмысления условия $x \geq 0$.

  4. Ошибки в сокращении дробей с корнями (Задание 4). Учащиеся часто не узнают формулы сокращённого умножения в выражениях с дробными показателями. Например, в дроби $\dfrac{x^{1/5} - y^{1/5}}{x^{1/10} + y^{1/10}}$ не все видят, что числитель — это разность квадратов: $(x^{1/10})^2 - (y^{1/10})^2$. Аналогично в третьем пункте задания 4 числитель представляет собой полный квадрат $(a^{1/3} - 2b^{1/3})^2$, но без специальной тренировки этот факт остаётся незамеченным, и учащиеся пытаются сокращать дробь иными способами.

  5. Потеря решений при работе с неравенствами (Задание 6). При решении иррационального неравенства $\sqrt{10x+11} < x$ учащиеся часто забывают, что корень определён только при $10x+11 \geq 0$, а также что из $\sqrt{10x+11} < x$ автоматически следует $x > 0$. После возведения в квадрат получается квадратное неравенство $x^2 - 10x - 11 > 0$, которое даёт $x \in (-\infty; -1) \cup (11; +\infty)$. Однако без учёта $x>0$ ответ будет неверным. Эта ошибка возникает из-за формального подхода: школьники возводят в квадрат, решают квадратное неравенство и записывают ответ, не пересекая его с ОДЗ и с условием $x>0$.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно