Контрольная работа №2. Степенные функции. Корни n-й степени. Иррациональные выражения

1. Сравните значения функции в указанных парах точек:
1) $f(7{,}7)$ и $f(2{,}9)$ при $f(x) = x^{22}$ 2) $f(−1{,}9)$ и $f(−2{,}4)$ при $f(x) = x^{22}$ 3) $f( - 6{,}2)$ и $f(6{,}2)$ при $f(x) = x^{22}$ 4) $f( - 0{,}1)$ и $f(0{,}6)$ при $f(x) = x^{22}$.
2. Вычислите:
1) $4\sqrt[6]{64} - \sqrt[4]{625} - 5\sqrt[3]{ - 27}$ 2) $\sqrt[3]{0{,}216 \cdot 8}$ 3) $\sqrt[10]{5^{20} \cdot 2^{30}}$ 4) $\dfrac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}}$.
3. Решите уравнение:
1) $x^{11} = 5$ 2) $x^{4} = 625$ 3) $x^{7} = −128$ 4) $x^{4} = −256$ 5) $\sqrt[9]{x} = −1$ 6) $\sqrt[4]{x} = −4$.
4. Определите максимальное и минимальное значения функции на заданном отрезке:
$y = x^{ - 6}$ на отрезке $[−2; −1]$
5. Упростите выражение:
1) $\sqrt[36]{b^{9}}$ 2) $\sqrt[4]{a^{5}\sqrt[3]{a}}$ 3) $\sqrt[12]{z^{12}},\quad z\leq 0$ 4) $\sqrt[8]{(x + 3)^{8}},\quad x\geq - 3$.
6. Определите графически, сколько решений имеет данная система:
$\begin{cases} y = x^{ - 4} \\ y = x^{4} −3 \end{cases}$
7. Преобразуйте дроби так, чтобы в знаменателе не осталось иррациональности:
1) $\dfrac{1}{\sqrt[5]{16}}$ 2) $\dfrac{10}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}$.
8. Упростите выражение:
$\left( \dfrac{\sqrt[10]{x} + 3}{\sqrt[10]{x} - 3} - \dfrac{\sqrt[10]{x} + 9}{\sqrt[10]{x} + 3} + \dfrac{4}{\sqrt[5]{x} - 9} \right) : \dfrac{8}{\sqrt[5]{x} - 9}$
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 10-х классов (базовый уровень) и входит в систему тематического контроля по курсу алгебры и начал математического анализа.

Она полностью соответствует требованиям действующей учебной программы и ориентирована на проверку знаний о степенных функциях, арифметических корнях и преобразованиях иррациональных выражений.

Работа охватывает ключевые разделы курса, связанные с обобщением понятия степени и корня, которые являются фундаментом для изучения показательной, логарифмической и тригонометрической функций в старших классах.

1. Обзор структуры работы

Контрольная работа состоит из 8 заданий, которые охватывают следующие темы курса:

  • Сравнение значений степенной функции (задание 1, 4 подпункта) — проверяется умение применять свойства монотонности и чётности степенной функции с натуральным показателем для сравнения значений в различных точках.

  • Вычисление значений арифметических корней (задание 2, 4 подпункта) — проверяется умение выполнять действия с корнями различных степеней, включая корни из отрицательных чисел, произведения и частного.

  • Решение степенных и иррациональных уравнений (задание 3, 6 подпунктов) — проверяется умение решать уравнения вида $x^n = a$ и $\sqrt[n]{x} = a$, учитывая чётность или нечётность показателя.

  • Нахождение наибольшего и наименьшего значений степенной функции (задание 4) — проверяется умение исследовать функцию $y = x^{-6}$ на отрезке, используя свойства монотонности.

  • Упрощение выражений с корнями и степенями (задание 5, 4 подпункта) — проверяется умение применять свойства корней, работать с модулем и учитывать условия на знак переменной.

  • Графическое решение системы уравнений (задание 6) — проверяется умение строить графики степенных функций и определять число решений системы по взаимному расположению графиков.

  • Освобождение от иррациональности в знаменателе (задание 7, 2 подпункта) — проверяется умение применять приёмы умножения на сопряжённое выражение и использования формул сокращённого умножения для корней третьей степени.

  • Упрощение сложного дробно-рационального выражения с корнями (задание 8, повышенный уровень) — проверяется умение выполнять замену переменной для приведения выражения к рациональному виду и выполнять тождественные преобразования.

Цель работы: Проверить уровень сформированности навыков работы со степенными функциями, арифметическими корнями и иррациональными выражениями, умение решать уравнения и неравенства, содержащие корни, и выполнять тождественные преобразования иррациональных выражений.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с дифференцирующими элементами повышенного уровня (задания 7.2 и 8).

Методика построения вариантов опирается на принцип обобщения и систематизации знаний о степенях и корнях:

  1. Первый этап (Задания 1–2): Актуализация и расширение знаний о степенных функциях и корнях. Задание 1 требует применения свойств монотонности и чётности — это материал, изученный в основной школе, но теперь на более общем уровне. Задание 2 возвращает учащихся к вычислениям с корнями, включая корни из отрицательных чисел, что требует понимания различий между чётными и нечётными показателями.

  2. Второй этап (Задание 3): Решение уравнений различных типов. Шесть подпунктов охватывают все возможные случаи: $x^n = a$ с чётным и нечётным $n$, $a>0$ и $a<0$, а также $\sqrt[n]{x}=a$ с чётным и нечётным $n$. Это позволяет проверить понимание того, когда уравнение имеет два корня, один корень или не имеет корней.

  3. Третий этап (Задания 4–5): Исследование функций и преобразование выражений. Задание 4 требует исследовать степенную функцию на монотонность на отрицательном промежутке — это принципиально иной случай, чем на положительной полуоси. Задание 5 проверяет умение упрощать выражения с корнями, учитывая область определения и знак переменной, что является важным навыком для работы с иррациональными функциями.

  4. Четвёртый этап (Задание 6): Синтез знаний. Графическое решение системы требует одновременного построения двух графиков степенных функций и анализа их взаимного расположения. Это задание проверяет умение «читать» графики и применять свойства функций в комбинированной ситуации.

  5. Пятый этап (Задания 7–8): Тождественные преобразования иррациональных выражений. Задание 7 проверяет стандартные приёмы освобождения от иррациональности — от простого умножения на недостающий множитель до применения формул сокращённого умножения для суммы кубических корней. Задание 8 является наиболее сложным, требуя замены переменной и выполнения многошаговых преобразований.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ решений позволяет выделить несколько характерных «ловушек», в которые чаще всего попадают десятиклассники:

  • Ошибки при сравнении значений степенной функции с чётным показателем. В задании 1.2 ($f(-1{,}9)$ и $f(-2{,}4)$) ученики часто сравнивают сами отрицательные числа, не переходя к модулям, и ошибочно полагают, что $-1{,}9 < -2{,}4$ означает $f(-1{,}9) < f(-2{,}4)$, хотя из-за чётности правильным является сравнение $1{,}9$ и $2{,}4$, что даёт тот же знак, но не всегда очевидно. В задании 1.4 ($f(-0{,}1)$ и $f(0{,}6)$) ученики часто сразу сравнивают $0{,}1$ и $0{,}6$, но не учитывают, что $f(-0{,}1) = (0{,}1)^{22}$, и при $0{,}1 < 0{,}6$ действительно $f(-0{,}1) < f(0{,}6)$ — здесь логика верна, но её нужно обосновать.

  • Ошибки при вычислении корней из отрицательных чисел. В задании 2.1 ученики часто забывают, что $\sqrt[3]{-27} = -3$, и записывают положительное число, либо, наоборот, пытаются извлечь корень чётной степени из отрицательного числа. Это связано с недостаточно чётким различением чётных и нечётных показателей корня.

  • Ошибки при решении уравнений $x^n = a$. В задании 3.2 ($x^4 = 625$) ученики часто записывают только положительный корень $x = 5$, забывая про $x = -5$. В задании 3.4 ($x^4 = -256$) ученики иногда пытаются найти корень, забывая, что чётная степень не может быть отрицательной. В задании 3.5 ($\sqrt[9]{x} = -1$) ученики иногда записывают $x = 1$, не учитывая знак при возведении в нечётную степень.

  • Ошибки при упрощении выражений с корнями. В задании 5.1 ($\sqrt[36]{b^9}$) ученики часто сокращают степень корня и показатель степени не на общий делитель, а произвольно, получая неверный результат. В задании 5.2 ($\sqrt[4]{a^5\sqrt[3]{a}}$) ученики часто ошибаются при сложении дробных показателей степени или при делении показателя на степень корня. В заданиях 5.3 и 5.4 ученики часто забывают про модуль при извлечении корня чётной степени, записывая $\sqrt[12]{z^{12}} = z$ вместо $|z|$, или, наоборот, не учитывают условие на знак и не упрощают модуль до $-z$ или $x+3$.

  • Ошибки при освобождении от иррациональности. В задании 7.2 ($\dfrac{10}{\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}$) ученики часто пытаются умножить на разность корней, как в случае с квадратными корнями, не понимая, что для кубических корней нужен неполный квадрат суммы. Это приводит к неправильному знаменателю и неверному ответу. Также типична ошибка при вычислении $a^2$, $ab$ и $b^2$ для кубических корней — ученики путают степени подкоренных выражений.

  • Ошибки при замене переменной в сложных выражениях. В задании 8 ученики часто не замечают, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$, и пытаются выполнять преобразования непосредственно с корнями, что приводит к громоздким и ошибочным вычислениям. Также встречается ошибка, когда ученики неправильно определяют общий знаменатель при сложении дробей или забывают про условие $x \neq 9$ в ответе.

  • Ошибки при графическом решении. В задании 6 ученики часто неправильно изображают график $y = x^{-4}$, забывая, что он проходит через точку $(1;1)$ и асимптотически приближается к осям, или путают его с графиком $y = x^4$. Также встречается ошибка при определении числа пересечений: ученики могут посчитать только положительные пересечения, забывая про симметричные отрицательные.

  • Ошибки при нахождении экстремумов степенной функции. В задании 4 ученики часто не понимают, как функция $y = x^{-6}$ ведёт себя на отрицательном промежутке, и либо считают, что она убывает, как на положительной полуоси, либо неверно находят значения на концах, забывая, что $(-2)^{-6} = 1/64$.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно