МЦКО 2026, углублённый уровень, часть 1

1. Решите задачу:
В городе $25$ % жителей пользуются общественным транспортом. Среди них $64$ % ежедневно ездят на метро. Сколько процентов всех жителей города ежедневно ездят на метро?
2. Найдите значение выражения:
$4^{4\sqrt{3} - 1} \cdot 16^{2 - 2\sqrt{3}}$.
3. Вычислите:
$\cos\left( - \frac{\pi}{4}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{2}$.
4. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$14, 7, \frac{7}{2}, \frac{7}{4}, \frac{7}{8}, \frac{7}{16}, \ldots$
5. Найдите ординату точки пересечения графиков:
На рисунке изображены графики функций $f(x) = − 3 x− 3$ и $g(x) = − 3 x^2 − 9 x− 3$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Абсцисса точки $A$ меньше абсциссы точки $B$. Найдите ординату точки $B$.
6. Вычислите:
Угол $\alpha$ удовлетворяет $\pi < \alpha < 2\pi$ и $\cos\alpha = \frac{24}{26}$. Найдите $\operatorname{ctg} \alpha$.
7. Решите уравнение:
Найдите количество корней уравнения $2\sin^3 x = \sqrt2\cos^2 x + 2\sin x$, принадлежащих отрезку $[ - \frac{20\pi}{1};\, - \frac{5\pi}{3}]$.
8. Найдите наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:
$\frac{{1} x^2 + 5 x + 4}{\sqrt{{2x + 5}}} \leq 0$.
9. Найдите значение параметра:
Найдите значение $a$, при котором система уравнений $\begin{cases} xy = 36 \\ (x - 6)^2 + (y - 6)^2 = a \end{cases}$ имеет ровно три различных решения. Если таких значений несколько, в ответе запишите наименьшее из них.
Открыть генератор

Данная работа предназначена для учащихся 10-х классов, изучающих математику на углублённом уровне.

Она составлена в соответствии с актуальными требованиями московских диагностик (МЦКО) и служит важным этапом подготовки к профильному ЕГЭ. Работа проверяет не только знание алгоритмов, но и умение оперировать сложными концепциями: параметрами, тригонометрическим отбором корней и функционально-графическим методом.

1. Обзор структуры работы

Вариант включает в себя 9 заданий, охватывающих фундаментальные разделы программы:

  • Арифметико-логический блок: Задача на проценты «доля от доли» (№1), проверяющая базовую математическую грамотность.
  • Алгебра и начала анализа: Преобразование выражений со степенями и иррациональностью (№2), сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (№4).
  • Тригонометрия (расширенный блок): Вычисления (№3), работа с четвертями круга (№6) и решение уравнений высших степеней с отбором корней на промежутке (№7).
  • Функции и графики: Аналитическая работа с параболой и прямой (№5), решение комбинированных неравенств с учётом ОДЗ (№8).
  • Задание высокого уровня сложности: Система уравнений с параметром (№9), требующая владения методом замены переменной и анализа количества корней.

Цель работы: Комплексная оценка готовности к решению второй части профильного экзамена и диагностика навыков математического моделирования.

2. Уровень сложности и методика

Работа классифицируется как углублённый уровень. Её отличительная черта — высокая плотность разноплановых задач.

  • Нарастание сложности: Работа начинается с обманчиво простых задач (№1, №3), которые быстро сменяются многоэтапными вычислениями.
  • Методическая ценность: Особое внимание уделено аналитическим навыкам. Например, задание №5 требует не просто считывания точек с графика, а полноценного вывода формул функций. Задание №9 является классическим примером задач «олимпиадного» типа, где успех зависит от выбора удачной подстановки ($u = x + \frac{9}{x}$).

3. Типичные ошибки учеников

При проверке подобных работ методисты чаще всего фиксируют ошибки в следующих «точках напряжения»:

  • Игнорирование ОДЗ (Задание №8): Учащиеся часто забывают, что корень в знаменателе накладывает строгое условие ($2x + 3 > 0$). Это приводит к включению в ответ посторонних целых чисел.
  • Ошибки тригонометрического отбора (Задание №7): При работе с отрицательными промежутками (например, $[-4\pi; -2{,}5\pi]$) дети часто теряют корни или путают их положение на единичной окружности.
  • Потеря знака при работе с четвертями (Задание №6): Ученики верно находят модуль тангенса, но ошибаются в знаке, неверно определив положение угла $\alpha$ в интервале $(\pi; 2\pi)$.
  • Логические пропуски в параметрах (Задание №9): Самая частая ошибка — нахождение значений $a$, при которых $u$ имеет корни, но без учёта того, сколько именно значений $x$ соответствует каждому найденному $u$.

4. Методические советы учителю

  • Распределение времени: Рекомендуется выделить на часть 1 не более 60–80 минут. Задания №1–4 должны решаться «на автомате», чтобы оставить запас времени на глубокий анализ №7 и №9.
  • Критерии оценивания: * «5» — 8–9 верно решенных задач.
    • «4» — 6–7 задач.
    • «3» — 4–5 задач (обязательно наличие верно решенных задач из блоков тригонометрии и функций).
  • Предварительная подготовка: Перед проведением работы стоит провести «пятиминутку» по теме «Свойства функции $x + \frac{k}{x}$». Понимание того, что такая функция имеет ограничения по значениям ($|u| \ge 2\sqrt{k}$), критически важно для успешного решения задачи №9. Также полезно освежить в памяти чётность/нечётность тригонометрических функций.

Эта диагностика позволяет учителю наглядно увидеть, кто из учеников готов к профильному обучению, а кому требуется дополнительная проработка базовых алгоритмов тригонометрии.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно