МЦКО 2026, углублённый уровень, часть 2

1. Найдите угол:
В треугольнике $ABC$ с равными сторонами $AB$ и $BC$ внешний угол при вершине $B$ равен $138^{\circ}$. Угол $C$. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите площадь ромба:
В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиусом $4$, вписанная в ромб, касается стороны $AD$ в точке $E$. Известно, что $DE = 2$.
3. Найдите значение синуса угла:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $18$, а боковое ребро $AS$ равно $15$. Найдите синус угла между прямыми $AB$ и $SD$.
4. Найдите расстояние от точки до плоскости:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AD = 4\sqrt{11}$, $AA_1 = 3\sqrt{22}$. Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $CDK$.
5. Найдите вероятность:
Из коробки, в которой лежат $15$ чёрных и $5$ красных маркеров, достают один случайный маркер. Вероятность того, что он окажется красным.
6. Найдите число:
Каждый из $25$ учащихся в классе посещает хотя бы один из двух кружков. Известно, что $10$ человек занимаются в химическом кружке, а $18$ — в биологическом. Сколько учащихся посещают оба кружка?
7. Найдите вероятность события:
В некотором случайном эксперименте рассматривается случайная величина $X$. Известно, что $P(X \leq 15) = 0{,}77$ и $P(X \geq 10) = 0{,}58$. Найдите $P(10 \leq X \leq 15)$.
8. Найдите вероятность того, что выбранные предметы одного цвета:
На прилавке канцелярского магазина лежат $6$ зелёных ручок и $6$ зелёных карандашов, $4$ жёлтые ручки и $4$ жёлтых карандаша. Случайным образом выбирают одну ручку и один карандаш. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

Создавайте в один клик новые варианты этой работы в генераторе контрольных, скачивайте в PDF и Word или редактируйте в конструкторе

Открыть генератор Напечатать или скачать

Данная контрольная работа разработана для учащихся 10-х классов, изучающих математику на углублённом уровне.

Она нацелена на проверку готовности к профильному ЕГЭ и диагностику навыков работы в условиях многозадачности, где комбинируются классическая планиметрия, сложная стереометрия и современная теория вероятностей.

1. Обзор структуры работы

Работа сбалансирована и разделена на два крупных содержательных блока:

  • Геометрический блок (задания 1–4): Охватывает путь от свойств углов в треугольнике и метрических соотношений в ромбе (планиметрия) до вычисления углов между скрещивающимися прямыми и расстояний в пространстве (стереометрия).
  • Вероятностно-статистический блок (задания 5–8): Включает классическое определение вероятности, формулу включений-исключений для множеств, работу с интервалами случайных величин и расчет вероятности независимых событий.

Распределение задач:
* Вычислительные задачи (алгебраический подход в геометрии): 4
* Логико-вероятностные задачи: 4

Цель работы: Проверка глубины пространственного мышления, умения переходить от 3D-моделей к плоским чертежам, а также навыка работы с пересекающимися событиями в теории вероятностей.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности — Углублённый.

Методика построения работы основана на принципе интеллектуальных качелей:
1. Входной контроль (№1, №5): Простые задачи на «разогрев», проверяющие базовые определения.
2. Аналитическая глубина (№2, №6): Требуют применения свойств высот в прямоугольном треугольнике и кругов Эйлера.
3. Стереометрический вызов (№3, №4): Задания высокого уровня. В №3 необходимо увидеть параллельный перенос прямой, а в №4 — применить метод вспомогательных объёмов или сложные координатные вычисления.
4. Вероятностная интуиция (№7, №8): Проверка понимания структуры случайных событий.

3. Типичные ошибки учеников

Даже на углублённом уровне учащиеся часто попадают в классические «ловушки»:

  • Метрические соотношения в ромбе (№2): Ученики часто путают радиус вписанной окружности с высотой ромба или забывают свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла ($h^2 = a_c \cdot b_c$). Без этого решение задачи затягивается через лишние тригонометрические функции.

  • Скрещивающиеся прямые (№3): Основная проблема — неумение найти угол между прямыми $AB$ и $SD$, которые не пересекаются. Ученики забывают о параллельном переносе $AB$ к ребру $CD$, пытаясь строить перпендикуляры «в воздухе».

  • Пересечение интервалов (№7): В задачах на случайные величины часто просто складывают или вычитают вероятности, не понимая, что искомый интервал — это «общая часть» двух событий, и формула вероятности суммы здесь требует особого внимания к единице (полной группе событий).

  • Двойной счет в множествах (№6): Игнорирование того, что учащиеся «оба кружка» учтены дважды при простом сложении ($10 + 18$).

4. Методические советы учителю

Распределение времени на работу:
* Первые 15 минут: Решение задач №1, №5, №6, №8. Это позволит быстро набрать базовые баллы и снять стресс.
* Середина (25 минут): Концентрация на №2 и №3. Здесь важна точность чертежа.
* Финал (20 минут): Решение задачи №4 (самая трудоемкая по вычислениям) и №7.

Критерии оценивания:
* На углублённом уровне за стереометрическую задачу (№4) можно выставлять промежуточный балл, если верно обоснован метод (например, метод объёмов), но допущена арифметическая ошибка в радикалах.
* Задачи на вероятность (№7, №8) требуют только краткого числового ответа, поэтому приучайте учеников перепроверять арифметику дважды — обидно потерять балл на умножении $0{,}6$ на $0{,}6$.

Темы для «пятиминутки» перед контрольной:
1. Планиметрия: Свойства высоты в прямоугольном треугольнике ($h^2 = ab$).
2. Стереометрия: Параллельность в пространстве и нахождение расстояния от точки до плоскости через объем тетраэдра.
3. Вероятность: Наглядное представление интервалов $X \leq a$ и $X \geq b$ на числовой оси.

Совет родителям: Эта работа проверяет не только память, но и логическую выносливость. Если ребенок успешно справляется с №4 и №7, это серьезный показатель готовности к профильным техническим вузам.

Как работает сервис для учителей

  • Выберите контрольную по нужной теме и классу
  • Укажите, сколько вариантов нужно
  • Получите в один клик готовые задания, ответы и решения
  • Распечатайте или скачайте в формате Word или PDF
Попробовать бесплатно