МЦКО 2026, углублённый уровень, часть 2

1. Найдите угол:
В треугольнике $ABC$ с равными сторонами $AB$ и $BC$ внешний угол при вершине $B$ равен $68^{\circ}$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите площадь ромба:
В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиусом $4$, вписанная в ромб, касается стороны $AD$ в точке $E$. Найдите площадь ромба, если известно, что $DE = 2$.
3. Найдите значение синуса угла:
В пирамиде с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$ ребро основания $AB$ имеет длину $440$, а каждое боковое ребро (в частности $AS$) равно $625$. Найдите $\sin$ угла между прямыми $AB$ и $SD$.
4. Найдите расстояние от точки до плоскости:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AD = 6\sqrt{10}$, $AA_1 = \sqrt{10}$. Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $CDK$.
5. Найдите вероятность:
В ящике лежат $12$ синих и $28$ зелёных карандашей. Наугад достают один карандаш. Какова вероятность того, что достали зелёный?
6. Найдите число:
В классе $22$ ученика; каждый ходит хотя бы в один кружок — математический или шахматный. В математическом занимаются $7$ человек, в шахматном — $15$. Сколько ребят в обоих кружках?
7. Найдите вероятность события:
В некотором случайном эксперименте рассматривается случайная величина $X$. Известно, что $P(X \leq 28) = 0{,}78$ и $P(X \geq 13) = 0{,}66$. Найдите $P(13 \leq X \leq 28)$.
8. Найдите вероятность того, что выбранные предметы одного цвета:
На полке стоят $13$ зелёных бумажных папок и $13$ зелёных пластиковых папок, $12$ жёлтых бумажных папок и $12$ жёлтых пластиковых папок. Случайным образом выбирают одну бумажную папку и одну пластиковую. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?
Открыть генератор

Данная контрольная работа разработана для учащихся 10-х классов, изучающих математику на углублённом уровне.

Она нацелена на проверку готовности к профильному ЕГЭ и диагностику навыков работы в условиях многозадачности, где комбинируются классическая планиметрия, сложная стереометрия и современная теория вероятностей.

1. Обзор структуры работы

Работа сбалансирована и разделена на два крупных содержательных блока:

  • Геометрический блок (задания 1–4): Охватывает путь от свойств углов в треугольнике и метрических соотношений в ромбе (планиметрия) до вычисления углов между скрещивающимися прямыми и расстояний в пространстве (стереометрия).
  • Вероятностно-статистический блок (задания 5–8): Включает классическое определение вероятности, формулу включений-исключений для множеств, работу с интервалами случайных величин и расчет вероятности независимых событий.

Распределение задач:
* Вычислительные задачи (алгебраический подход в геометрии): 4
* Логико-вероятностные задачи: 4

Цель работы: Проверка глубины пространственного мышления, умения переходить от 3D-моделей к плоским чертежам, а также навыка работы с пересекающимися событиями в теории вероятностей.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности — Углублённый.

Методика построения работы основана на принципе интеллектуальных качелей:
1. Входной контроль (№1, №5): Простые задачи на «разогрев», проверяющие базовые определения.
2. Аналитическая глубина (№2, №6): Требуют применения свойств высот в прямоугольном треугольнике и кругов Эйлера.
3. Стереометрический вызов (№3, №4): Задания высокого уровня. В №3 необходимо увидеть параллельный перенос прямой, а в №4 — применить метод вспомогательных объёмов или сложные координатные вычисления.
4. Вероятностная интуиция (№7, №8): Проверка понимания структуры случайных событий.

3. Типичные ошибки учеников

Даже на углублённом уровне учащиеся часто попадают в классические «ловушки»:

  • Метрические соотношения в ромбе (№2): Ученики часто путают радиус вписанной окружности с высотой ромба или забывают свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла ($h^2 = a_c \cdot b_c$). Без этого решение задачи затягивается через лишние тригонометрические функции.

  • Скрещивающиеся прямые (№3): Основная проблема — неумение найти угол между прямыми $AB$ и $SD$, которые не пересекаются. Ученики забывают о параллельном переносе $AB$ к ребру $CD$, пытаясь строить перпендикуляры «в воздухе».

  • Пересечение интервалов (№7): В задачах на случайные величины часто просто складывают или вычитают вероятности, не понимая, что искомый интервал — это «общая часть» двух событий, и формула вероятности суммы здесь требует особого внимания к единице (полной группе событий).

  • Двойной счет в множествах (№6): Игнорирование того, что учащиеся «оба кружка» учтены дважды при простом сложении ($10 + 18$).

4. Методические советы учителю

Распределение времени на выполнение:
* Первые 15 минут: Решение задач №1, №5, №6, №8. Это позволит быстро набрать базовые баллы и снять стресс.
* Середина (25 минут): Концентрация на №2 и №3. Здесь важна точность чертежа.
* Финал (20 минут): Решение задачи №4 (самая трудоемкая по вычислениям) и №7.

Критерии оценивания:
* На углублённом уровне за стереометрическую задачу (№4) можно выставлять промежуточный балл, если верно обоснован метод (например, метод объёмов), но допущена арифметическая ошибка в радикалах.
* Задачи на вероятность (№7, №8) требуют только краткого числового ответа, поэтому приучайте учеников перепроверять арифметику дважды — обидно потерять балл на умножении $0{,}6$ на $0{,}6$.

Темы для «пятиминутки» перед контрольной:
1. Планиметрия: Свойства высоты в прямоугольном треугольнике ($h^2 = ab$).
2. Стереометрия: Параллельность в пространстве и нахождение расстояния от точки до плоскости через объем тетраэдра.
3. Вероятность: Наглядное представление интервалов $X \leq a$ и $X \geq b$ на числовой оси.

Совет родителям: Эта работа проверяет не только память, но и логическую выносливость. Если ребенок успешно справляется с №4 и №7, это серьезный показатель готовности к профильным техническим вузам.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно