Контрольная работа №4. Формулы сокращённого умножения. Преобразования алгебраических выражений и решение уравнений

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) $(a + 7)^2$ 2) $(3x − 4y)^2$ 3) $(m − 6)(m + 6)$ 4) $(5a + 8b)(8b − 5a)$.
2. Разложите выражение на множители:
1) $a^2 − 3^2$ 2) $b^2 + 10b + 5^2$ 3) $5^2 x^2 − 4^2$ 4) $3^2 x^2 − 12xy + 2^2 y^2$.
3. Упростите выражение:
$(x − 1)^2 − (x + 3)(x − 3)$
4. Решите уравнение относительно переменной $y$:
$(2y − 3)(3y + 1) + 2(y − 5)(y + 5) = 2(−2y + 1)^2 + 6y$
5. Разложите выражение на множители, используя формулу разности квадратов:
$(6a − 7)^2 − (4a − 2)^2$
6. Упростите выражение, затем вычислите его значение при заданном $a$:
$(a + 1)(a − 1)(a^2 + 1) − (9 + a^2)^2,\quad a = \dfrac{1}{3}$
7. Докажите, что значение выражения всегда положительно:
$x^2 − 4x + 5$
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для итоговой проверки по одной из ключевых тем курса алгебры 7 класса — «Формулы сокращённого умножения и их применение».

Работа охватывает как чисто технические навыки преобразования выражений (раскрытие скобок, приведение подобных), так и более сложные компетенции: разложение на множители, доказательство неравенств и вычисление рациональных выражений с дробными аргументами.

1. Обзор структуры работы

Цель работы: Проверить уровень владения тремя основными формулами: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ и $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а также умение комбинировать их при решении уравнений, упрощении выражений и разложении многочленов.
Работа состоит из 7 заданий, которые можно сгруппировать по типам:
- Прямое применение формул (Задания 1, 2): Ученик должен преобразовать выражение в многочлен или, наоборот, разложить его на множители. Эти задания проверяют «технику безопасности» — знание знаков, коэффициентов и порядка действий.
- Комбинированное упрощение (Задания 3, 6): Требуется применить несколько формул последовательно (например, квадрат разности и разность квадратов).
- Решение уравнений через формулы (Задание 4): Квадратичные члены сокращаются, и уравнение сводится к линейному. Это хороший диагностический инструмент: ученик, который пытается решать через дискриминант, тратит время и рискует ошибиться.
- Разложение разности квадратов (Задание 5): Здесь формула применяется не к одночленам, а к целым скобкам $(A)^2 - (B)^2$, что требует более высокого уровня обобщения.
- Доказательное задание (Задание 7): Переход от репродуктивного уровня к аналитическому. Ученик не вычисляет, а объясняет, почему выражение всегда положительно.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с элементами повышенного уровня (задания 6 и 7).

Методика построения работы опирается на принцип многообразия форм записи одного и того же математического факта:

  1. Задания 1–2 (Базовый уровень): Ученик работает с «чистыми» шаблонами: $(a+7)^2$, $a^2-9$. Здесь важно автоматизировать навык — мгновенно узнавать структуру формулы, не пытаясь каждый раз перемножать скобки «в лоб».

  2. Задания 3–5 (Базовый +): Формулы начинают «маскироваться». Например, в задании 4 после раскрытия всех скобок квадратичные члены $8y^2$ и $8y^2$ сокращаются — это ловушка для тех, кто не привык сначала упрощать, а потом решать. В задании 5 формула разности квадратов применяется к выражениям $(6a-7)$ и $(4a-2)$, что требует умения видеть «скобку как единый объект».

  3. Задание 6 (Повышенный уровень): Цепочка $(a+1)(a-1)(a^2+1)$ сворачивается по формуле разности квадратов дважды. Затем вычитается квадрат суммы. Завершающий шаг — подстановка простой дроби $a = \frac{1}{3}$. Это задание проверяет «дальновидность»: выгодно сначала упростить выражение до $-82 - 18a^2$, и лишь затем подставлять значение.

  4. Задание 7 (Повышенный уровень): Задача на доказательство. Ученик не должен вычислять «при всех $x$» перебором. Метод выделения полного квадрата превращает выражение $x^2-4x+5$ в $(x-2)^2+1$, что сразу показывает положительность. Это отдельный мыслительный навык — переход от алгебры многочленов к анализу неравенств.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ решений позволяет выделить четыре наиболее частых «ловушки»:

  1. Потеря знака в квадрате разности.
    В задании 1(2) при преобразовании $(3x - 4y)^2$ ученики часто пишут $9x^2 - 24xy + 16y^2$ правильно, но в задании 5 при $(4a-2)^2$ могут ошибочно получить $16a^2 - 8a + 4$ (забывая удвоенное произведение $2 \cdot 4a \cdot 2 = 16a$, а не $8a$).
    Причина: Слабое различие между формулами $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Механическое запоминание без понимания, что такое «удвоенное произведение».

  2. Неправильный порядок множителей в разности квадратов.
    В задании 1(4) $(5a+8b)(8b-5a)$ ученик может попытаться перемножить каждое с каждым, потратить время и запутаться в знаках. Хотя формула $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ требует привести выражение к виду $(8b+5a)(8b-5a)$.
    Причина: Неумение распознавать «переставленную» разность квадратов. Слабое понимание коммутативности сложения.

  3. Арифметическая ошибка в уравнении с дробными коэффициентами.
    В задании 4 при переносе слагаемых: из $-7y - 53 = -2y + 2$ получают $-55 = 5y$ (верно), но затем ошибочно пишут $y = 11$ вместо $y = -11$.
    Причина: Усталость на этапе приведения подобных; невнимательность при делении отрицательного числа.

  4. Подстановка значения до упрощения в задании 6.
    Многие ученики сначала подставляют $a = \frac{1}{3}$ в исходное громоздкое выражение, путаются в дробях и получают неверный ответ.
    Причина: Отсутствие стратегического мышления («сначала упрости алгебраически, потом подставляй числа»). Часто это связано с попыткой сэкономить время на черновике.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно