Контрольная работа №3. Умножение многочленов. Разложение на множители. Уравнения

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) $3x(x^{3} −4x + 6)$ 2) $(x − 3)(2x + 1)$ 3) $(4a − 7b)(5a + 6b)$ 4) $(y + 2)(y^{2} + y −8)$.
2. Разложите выражение на множители:
1) $5a^{2} − 20ab$ 2) $7x^{3} − 14x^{5}$ 3) $3a − 3b + 1a − 1b$.
3. Решите уравнение:
$4x^2 − 12x = 0$
4. Упростите выражение и приведите его к многочлену стандартного вида:
$2a(3a - 5) − (a − 3)(a − 7)$
5. Решите уравнение:
1) $\dfrac{2x + 9}{4} − \dfrac{1x - 2}{6} = 3$ 2) $(2x − 3)(x + 7) = (x + 4)(2x − 3) + 3$.
6. Упростите выражение (разложите на множители), затем найдите его значение при заданных значениях переменных:
$18xy + 6x - 24y - 8,\quad x = 1\dfrac{2}{3},\; y = 0{,}4$
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 7-х классов и входит в систему тематического контроля по курсу алгебры.

Она полностью соответствует структуре и содержанию УМК А.Г. Мерзляка и охватывает ключевой раздел курса — преобразование целых алгебраических выражений (умножение многочленов, разложение на множители) и их приложение к решению уравнений различного типа.

Работа проверяет как техническую беглость в выполнении алгебраических операций, так и умение выбирать рациональный способ преобразования (группировка, вынесение общего множителя, использование структуры уравнения).

1. Обзор структуры работы

Контрольная включает шесть заданий (некоторые с подпунктами), которые можно сгруппировать в несколько тематических блоков:

  • Блок умножения многочленов (задание 1): четыре подпункта, охватывающих все основные случаи: умножение одночлена на многочлен, произведение двух двучленов (в том числе с двумя переменными), произведение двучлена и трёхчлена.
  • Блок разложения на множители (задание 2): вынесение общего множителя (из двух слагаемых, в том числе со степенями) и способ группировки.
  • Блок уравнений (задания 3, 5): неполное квадратное уравнение (вынесение $x$), линейное уравнение с дробями, уравнение с общим множителем в обеих частях.
  • Блок упрощения выражений (задания 4, 6): комбинация операций с многочленами (задание 4) и вычисление значения рационально упрощённого выражения при заданных значениях переменных (задание 6, повышенный уровень).

Цель работы: Проверить уровень сформированности навыков выполнения умножения многочленов, выбора и применения способов разложения на множители (вынесение общего множителя, группировка), решения уравнений разных типов (линейных, дробных, с вынесением общего множителя), а также умения рационально упрощать выражение перед подстановкой числовых значений.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с дифференцирующим элементом повышенного уровня (задание 6). Задания 1–5 доступны большинству учащихся, систематически выполняющих упражнения на преобразование выражений. Задание 6 требует не только технического упрощения, но и осознанного выбора способа группировки, а также аккуратной работы со смешанными числами и десятичными дробями.

Методика построения работы опирается на принцип последовательного усложнения алгебраических конструкций и увеличения доли самостоятельного выбора стратегии преобразования:

  1. Первый этап (задание 1) — прямое применение алгоритмов умножения. От ученика требуется только знание распределительного закона и правила умножения многочленов («каждый на каждый»). Подпункты расположены от более простых (одночлен на многочлен) к более сложным (двучлен на трёхчлен). Это позволяет «разогреть» вычислительный аппарат.

  2. Второй этап (задание 2) — переход от «раскрытия» скобок к «закрытию» — разложению на множители. Здесь впервые ученик должен посмотреть на выражение и выбрать способ: вынесение общего множителя (подпункты 1, 2) или группировку (подпункт 3). Это тренирует обратное мышление.

  3. Третий этап (задание 3) — применение разложения на множители к решению уравнения. Неполное квадратное уравнение $ax^2 + bx = 0$ решается вынесением $x$ — это мостик между темой «разложение на множители» и темой «уравнения».

  4. Четвёртый этап (задание 4) — комбинация операций: умножение одночлена на двучлен и умножение двух двучленов, соединённые знаком вычитания. Ученик должен выполнить оба преобразования и привести подобные слагаемые. Здесь важна внимательность к знаку минус перед второй скобкой.

  5. Пятый этап (задание 5) — два уравнения, каждое из которых требует нестандартного (по сравнению с простым линейным) подхода. Подпункт (1) — линейное уравнение с дробями, требующее приведения к общему знаменателю. Подпункт (2) — уравнение, в котором после переноса всех членов в одну сторону появляется общий множитель $(2x-3)$, что позволяет решить его без раскрытия всех скобок. Это проверяет понимание структуры уравнения, а не механическое «раскрыть всё».

  6. Шестой этап (задание 6) — повышенный уровень. Ученик получает выражение $18xy + 6x - 24y - 8$, которое не упрощается подстановкой напрямую (получились бы громоздкие вычисления с дробями). Нужно догадаться сгруппировать слагаемые, вынести общие множители и получить компактное произведение $(3y+1)(6x-8)$. Только после этого подставлять значения $x = 1\frac{2}{3}$ и $y = 0{,}4$. Это задание проверяет не вычислительную технику, а алгебраическую зоркость и умение видеть структуру выражения.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ предложенных решений и многолетняя практика позволяют выделить следующие проблемные зоны:

  1. Потеря знака «минус» перед скобкой (задание 4). При упрощении $2a(3a-5) - (a-3)(a-7)$ ученики часто забывают, что минус относится ко всему произведению $(a-3)(a-7)$, и ошибочно записывают $6a^2-10a - a^2-10a+21$ (вместо $-a^2 +10a -21$).
    Причина: формальное «раскрытие скобок» без проговаривания: «вычитаем сумму, значит, меняем знак каждого слагаемого».

  2. Неполное вынесение общего множителя (задание 2.2). В выражении $7x^3 - 14x^5$ ученик может вынести только $7x^3$ (верно), но оставить в скобках $1 - 2x^2$ (верно), однако иногда выносят $7x^3$, а оставляют $1 - 2x^5$ (показатель степени при $x$ не вычитается).
    Причина: смешение правил вынесения множителя и действий со степенями. Нужно повторять: «выносим $x^3$ — из $x^5$ остаётся $x^{5-3}=x^2$».

  3. Потеря корня $x=0$ в уравнении $4x^2 - 12x = 0$ (задание 3). Ученик может разделить обе части на $x$ (не проверив, что $x \neq 0$), получить $4x - 12 = 0$ и найти только $x=3$.
    Причина: непонимание, что деление на переменную — недопустимая операция, если переменная может быть равна нулю. Это классическая ошибка, требующая многократного проговаривания: «никогда не делим на неизвестное, всегда выносим за скобку».

  4. Ошибки при приведении дробей к общему знаменателю (задание 5.1). В уравнении $\frac{2x+9}{4} - \frac{x-2}{6} = 3$ ученики могут ошибочно умножить правую часть 3 на общий знаменатель 12, но забыть умножить 3 на 12 в конце, или неправильно раскрыть скобки во втором числителе: $2(x-2) = 2x-4$ (верно), но знак минус перед дробью иногда теряется.
    Причина: недостаточная автоматизация алгоритма решения дробных уравнений. Рекомендуется сначала записать $\frac{3(2x+9) - 2(x-2)}{12} = 3$, а потом умножать на 12.

  5. Невидение общего множителя в уравнении 5.2. Ученик может начать раскрывать все скобки: $(2x-3)(x+7) = 2x^2 + 14x - 3x - 21 = 2x^2 + 11x - 21$, справа $(x+4)(2x-3)+3 = 2x^2 -3x + 8x -12 +3 = 2x^2 + 5x -9$, затем перенести всё в одну сторону и решать. Это технически верно, но громоздко и чревато арифметическими ошибками. Те, кто не увидел общий множитель $(2x-3)$, тратят лишнее время и рискуют ошибиться.
    Причина: недостаточное развитие «структурного зрения» — умения видеть одинаковые выражения в разных частях уравнения.

  6. Арифметические ошибки при подстановке дробей (задание 6). Даже после правильного упрощения до $2(3y+1)(3x-4)$ при подстановке $x = 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$, $y = 0{,}4 = \frac{2}{5}$ ученики ошибаются в умножении дробей: $3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$, затем $+1 = \frac{11}{5}$; $3 \cdot \frac{5}{3} = 5$, $-4 = 1$; затем $2 \cdot \frac{11}{5} = \frac{22}{5} = 4{,}4$. Ошибка может возникнуть на любом из этих шагов.
    Причина: недостаточная беглость в действиях с обыкновенными дробями.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно