Контрольная работа №2. Степень с натуральным показателем. Одночлены и многочлены

1. Вычислите значение числового выражения:
$\frac{3}{2} \cdot 6^{2} - 2^{3}$
2. Запишите выражение в виде степени с основанием $x$:
1) $x^{8} \cdot x^{2}$ 2) $x^{8} : x^{2}$ 3) $(x^{8})^{2}$ 4) $\dfrac{(x^{4})^{5} \cdot x^{2}}{x^{12}}$.
3. Приведите выражение к одночлену стандартного вида:
1) $−3a^{2}b^{4} \cdot 3a^{2} \cdot b^{5}$ 2) $( -4a^{2}b^{6})^{3}$.
4. Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида:
$(5x^2 + 6x − 3) - (2x^2 −3x − 4)$
5. Вычислите значение выражения:
1) $\dfrac{(2^{2})^{6} \cdot 2^{9}}{(2^5)^{4}}$ 2) $\left(\dfrac{8}{3}\right)^{5} \cdot \left(\dfrac{3}{8}\right)^{6}$.
6. Упростите выражение и приведите его к одночлену стандартного вида:
$125a^{6}b^{3} \cdot ( - \frac{1}{5}a^{2}b^{4})^{3}$
7. Вместо звёздочки запишите многочлен, при котором равенство выполняется при всех значениях переменных:
$(5a^3 - 2ab + 6b) - (*) = 4a^3 + 8b$
8. Докажите, что выражение кратно заданному числу при любом натуральном $n$:
Докажите, что $(3n + 16) - (6 - 2n)$ кратно $$5$ $
9. Используя данное равенство, найдите значение выражения:
1) $2a^{2}b^{3} = 9$, найти $- 6a^{2}b^{3}$ 2) $2a^{2}b^{3} = 9$, найти $2a^{4}b^{6}$.
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 7-х классов и входит в систему тематического контроля по курсу алгебры.

Она полностью соответствует структуре и содержанию УМК А.Г. Мерзляка и охватывает один из фундаментальных разделов курса алгебры 7 класса — действия со степенями, преобразование одночленов и многочленов, а также элементы доказательства кратности и работы с алгебраическими тождествами.

Работа проверяет как техническую беглость в применении правил действий со степенями, так и способность к алгебраическим манипуляциям и логическим рассуждениям.

1. Обзор структуры работы

Контрольная включает девять заданий (некоторые с подпунктами), которые можно сгруппировать в несколько тематических блоков:

  • Блок числовых вычислений со степенями (задания 1, 5): арифметические выражения, требующие возведения в степень и выполнения действий, в том числе с приведением к общему основанию и использованием взаимно обратных дробей.
  • Блок действий со степенями с буквенным основанием (задания 2, 3, 6): умножение, деление, возведение степени в степень, преобразование произведений одночленов и возведение одночлена в степень.
  • Блок многочленов (задания 4, 7): разность многочленов, восстановление вычитаемого многочлена по известной разности.
  • Блок доказательства и преобразования выражений (задания 8, 9): доказательство кратности выражения натуральному числу, вычисление значения выражения с использованием известного алгебраического равенства (повышенный уровень).

Цель работы: Проверить уровень владения правилами действий со степенями с натуральными показателями, умение приводить одночлены и многочлены к стандартному виду, выполнять алгебраические преобразования, а также способность проводить простейшие доказательства (кратность) и использовать алгебраические соотношения для вычислений.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с дифференцирующими элементами повышенного уровня (задания 8 и 9). Задания 1–7 доступны учащемуся, который систематически отрабатывает алгоритмы действий со степенями и многочленами. Задания 8 и 9 требуют дополнительных логических операций и понимания структуры алгебраического выражения.

Методика построения работы опирается на принцип последовательного усложнения алгебраического языка и увеличения доли самостоятельного преобразования:

  1. Первый этап (задание 1) — чисто вычислительный, на порядок действий и возведение в степень. Ученик должен помнить, что степень вычисляется до умножения и вычитания. Два множителя с разными основаниями и знаками — проверка внимательности.

  2. Второй этап (задание 2) — отработка трёх основных правил действий со степенями (умножение, деление, возведение степени в степень) в чистом виде, а затем в комбинации (дробь со степенями в числителе). Это «алгоритмический тренажёр», где каждое действие жёстко регламентировано.

  3. Третий этап (задание 3) — переход от степеней с одним основанием $x$ к степеням с двумя буквенными основаниями $a$ и $b$. Ученик учится перемножать одночлены и возводить одночлен в степень. Здесь важно не только сложить показатели, но и правильно перемножить числовые коэффициенты (в том числе отрицательные).

  4. Четвёртый этап (задания 4, 7) — работа с многочленами. Задание 4 — прямая операция (разность многочленов). Задание 7 — обратная операция (восстановление вычитаемого по разности). Это учит понимать структуру равенства и выполнять действия «в обратную сторону».

  5. Пятый этап (задание 6) — комбинация изученных операций: произведение одночлена и степени одночлена. Требуется выполнить возведение в степень (с учётом знака и десятичного коэффициента), а затем перемножить два одночлена. Это «сборка» навыков из заданий 2 и 3.

  6. Шестой этап (задания 8, 9) — повышенный уровень. Задание 8 требует не вычислить, а доказать свойство выражения (кратность 5). Ученик должен упростить выражение и увидеть множитель 5. Задание 9 — работа с косвенной информацией: дано значение одного выражения ($2a^2b^3=9$), нужно найти значение двух других ($-6a^2b^3$ и $2a^4b^6$). Это проверяет понимание структуры одночлена и умение выражать одни степени через другие.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ предложенных решений и многолетняя практика позволяют выделить следующие проблемные зоны:

  1. Неправильный порядок действий в задании 1. Ученик может сначала выполнить умножение $1{,}5 \cdot 6 = 9$, а затем возвести в квадрат, получив $9^2 = 81$, или сначала вычесть, а потом умножить.
    Причина: недостаточное автоматизированное знание приоритета операций (степень — умножение — вычитание).

  2. Ошибки со знаком при возведении отрицательного числа в степень (задания 3.2, 6). Например, $(-4)^3$ иногда вычисляют как $-64$ (верно), но при $(-4)^2$ могут ошибочно получить $-16$ вместо $16$.
    Причина: формальное запоминание правила «минус на минус даёт плюс» без понимания, что чётная степень «убирает» минус, а нечётная — сохраняет.

  3. Потеря показателя степени при возведении степени в степень (задание 5.1). В выражении $(2^2)^6$ ученик может перемножить основание 2 на показатели (получить $2^{12}$ — верно), но иногда ошибочно складывает показатели ($2^{8}$) или возводит 2 в степень 12 «через умножение» ($2 \cdot 12 = 24$).
    Причина: смешение правил $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

  4. Неверное приведение к общему основанию в задании 5.1. Ученик может попытаться вычислить $4^6 = 4096$, $2^9 = 512$, $32^4 = 1048576$ и выполнить деление «в лоб», что технически сложно и ведёт к арифметическим ошибкам.
    Причина: неумение видеть степень двойки в числах 4 и 32. Это признак того, что ученик не освоил разложение чисел на простые множители в контексте степеней.

  5. Ошибки при работе с десятичными коэффициентами в задании 6. Вычисление $(-0{,}2)^3$ часто даёт $-0{,}008$ (верно), но $125 \cdot (-0{,}008)$ может быть вычислено как $-1$ (верно), однако если ученик не переведёт $-0{,}008$ в дробь $-\frac{1}{125}$, он может запутаться.
    Причина: страх перед десятичными дробями в алгебраических выражениях. Рекомендуется переводить $0{,}2 = \frac{1}{5}$.

  6. Непонимание «доказательства» в задании 8. Ученик может упростить выражение до $5n+10$, но не сделать последний шаг — вынести 5 за скобки и явно указать, что полученное произведение делится на 5. Некоторые пишут «делится на 5, потому что 5n делится на 5 и 10 делится на 5» — это тоже верно, но менее строго.
    Причина: неумение оформлять доказательство кратности как вынесение общего множителя.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно