Контрольная работа №3. Дробно-рациональные уравнения, стандартный вид числа и свойства степеней

1. Решите уравнение:
1) $\dfrac{6x − 7}{x − 2} − \dfrac{x + 8}{x − 2} = 0$ 2) $\dfrac{x}{x + 6} − \dfrac{36}{x^2 + 6x} = 0$.
2. Представьте число в стандартном виде:
1) $275\,000$ 2) $0{,}0028$.
3. Представьте выражение в виде степени с основанием $b$:
1) $b^{ - 6} \cdot b^{4}$ 2) $b^{2} : b^{ - 7}$ 3) $\left(b^{ - 5}\right)^{ - 2} \cdot b^{ - 8}$.
4. Упростите выражение:
$\frac{2}{5}a^{14}b^{ - 9} \cdot \frac{8}{5}a^{ - 8}b^{17}$
5. Найдите значение выражения:
1) $3^{ - 2} + \left(\dfrac{18}{5}\right)^{ - 1}$ 2) $\dfrac{13^{ - 8} \cdot 13^{ - 7}}{13^{ - 14}}$.
6. Преобразуйте выражение так, чтобы все степени были положительными:
$\left( - \frac{2}{3}a^{ - 6}b^{ - 2}\right)^{ - 3} \cdot (3a^{4}b^{5})^{ - 2}$
7. Вычислите значение выражения:
1) $\left(7^{3} \cdot 7^{ - 5}\right)^{5} \cdot \left(7^{ - 4}\right)^{ - 2}$ 2) $\dfrac{100^{ - 7} \cdot 10^{1} \cdot 1000^{ - 6}}{1000^{ - 12}}$.
8. Решите графически уравнение:
$\dfrac{8}{x} = −x − 6$
9. Определите порядок значения выражения:
1) Порядок числа $m$ равен $-2$, а порядок числа $n$ равен $3$. Определите порядок значения $mn$ 2) Порядок числа $m$ равен $-2$, а порядок числа $n$ равен $3$. Определите порядок значения $m + 0{,}1n$.
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 8-х классов, изучающих алгебру по программе УМК А.Г. Мерзляка.

Это третья контрольная работа в курсе 8-го класса, которая объединяет три важные темы: решение дробно-рациональных уравнений, стандартный вид числа и действия со степенями с целыми показателями. Такое объединение не случайно — оно позволяет проверить умение учащихся применять свойства степеней как при работе с алгебраическими выражениями, так и при вычислениях с очень большими и очень малыми числами.

Работа охватывает как чистую алгебру, так и элементы численного анализа (порядок числа), что готовит школьников к изучению физики и других естественнонаучных дисциплин.

1. Обзор структуры работы

Тематический охват:

  • Решение дробно-рациональных уравнений (приведение к общему знаменателю, учёт ОДЗ).
  • Запись чисел в стандартном виде $a \cdot 10^n$.
  • Действия со степенями с одинаковым основанием (умножение, деление, возведение степени в степень).
  • Упрощение произведений одночленов с отрицательными показателями.
  • Вычисление числовых выражений с отрицательными степенями.
  • Преобразование выражений со степенями к виду без отрицательных показателей.
  • Вычисления с целыми степенями чисел (с использованием разложения на простые множители).
  • Графическое решение уравнения (гипербола и прямая).
  • Оценка порядка числа при умножении и сложении.

Распределение заданий:

  • Задания на решение уравнений (№ 1): 2 пункта. Проверяют умение находить общий знаменатель, учитывать ОДЗ и получать корни.
  • Задания на стандартный вид числа (№ 2): 2 пункта. Проверяют понимание формата $a \cdot 10^n$ с $1 \le a < 10$.
  • Задания на свойства степеней с буквенным основанием (№ 3, 4, 6): 5 пунктов. Проверяют владение формулами $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
  • Задания на числовые вычисления со степенями (№ 5, 7): 4 пункта. Проверяют умение применять свойства степеней к конкретным числам.
  • Задание на графическое решение уравнения (№ 8): 1 пункт повышенного уровня. Проверяет умение строить гиперболу и прямую, находить точки пересечения.
  • Задание на порядок числа (№ 9): 2 пункта. Проверяет понимание оценки порядка результата арифметических операций.

Цель работы: Проверить уровень освоения учащимися действий со степенями с целыми показателями, умение решать дробно-рациональные уравнения, навыки записи чисел в стандартном виде и понимание понятия «порядок числа», а также способность применять графический метод для решения уравнений.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с элементами повышенного уровня (задания 6 и 8).

Методика построения работы опирается на принцип чередования типов деятельности и постепенного перехода от буквенных выражений к числовым:

  1. Первый этап (Задание 1): Решение дробно-рациональных уравнений. Ученик должен вспомнить алгоритм: найти ОДЗ, привести к общему знаменателю, приравнять числитель к нулю, проверить корни. Это задание возвращает к пройденному материалу и настраивает на работу с дробями.

  2. Второй этап (Задания 2–3): Работа со стандартным видом числа и свойствами степеней с буквенным основанием. Здесь проверяется базовое понимание: как представить большое или малое число в виде $a \cdot 10^n$ и как складывать/вычитать показатели при умножении и делении степеней.

  3. Третий этап (Задания 4–5): Комбинирование действий. В задании 4 нужно перемножить одночлены с отрицательными показателями (коэффициенты — десятичные дроби). В задании 5 — вычислить числовые выражения с отрицательными степенями, приведя их к обыкновенным дробям.

  4. Четвёртый этап (Задание 6 — повышенный уровень): Преобразование выражения с несколькими множителями, имеющими отрицательные внешние степени. Ученик должен последовательно применить правило возведения степени в степень (с учётом знака коэффициента) и правило умножения степеней. Это задание проверяет способность выполнять цепочку преобразований без пропуска шагов.

  5. Пятый этап (Задание 7): Вычисления с целыми степенями чисел. Ученик должен «увидеть» основание (7, 10) и представить все числа как степени этого основания. Это задание тренирует важный навык — приведение к общему основанию.

  6. Шестой этап (Задание 8 — повышенный уровень): Графическое решение уравнения. Ученик строит два графика (гиперболу и прямую) и находит их точки пересечения. Задание проверяет умение визуализировать решение и связывать алгебраический и геометрический подходы.

  7. Седьмой этап (Задание 9): Оценка порядка числа. Ученик должен понять, что порядок — это не точное значение, а диапазон. Задание на произведение показывает, что порядок может «увеличиться» на 1, если мантисса превышает 10. Задание на сумму демонстрирует доминирование большего слагаемого.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ решений позволяет выделить следующие характерные ошибки, которые совершают восьмиклассники при выполнении подобной работы:

  1. Потеря ОДЗ при решении дробно-рациональных уравнений.
    - Как проявляется: В задании 1.2 ученик получает $x = \pm 6$ и записывает оба корня, не проверив, что $x = -6$ обращает знаменатель в ноль.
    - Причина: Формальное решение уравнения $\frac{x^2 - 36}{x(x+6)} = 0$ без анализа области допустимых значений. Ученик приравнивает числитель к нулю и забывает, что знаменатель не может быть нулём.

  2. Ошибки в показателях степеней при делении.
    - Как проявляется: В задании 3.2 ученик выполняет $b^2 : b^{-7} = b^{2-7} = b^{-5}$ вместо $b^{2-(-7)} = b^{9}$.
    - Причина: Путаница в правиле вычитания показателей: $a^m : a^n = a^{m-n}$. При отрицательном $n$ разность $m - n$ превращается в $m + |n|$, что не всегда очевидно.

  3. Ошибки со знаком при возведении отрицательного коэффициента в нечётную степень.
    - Как проявляется: В задании 6 ученик вычисляет $\left(-\frac{2}{3}\right)^{-3}$ как $\frac{27}{8}$, теряя знак «минус» (правильный ответ: $-\frac{27}{8}$).
    - Причина: Неавтоматизированное правило знаков: отрицательное число в нечётной степени даёт отрицательный результат. Ученик помнит про «минус на минус даёт плюс», но путается при работе с дробями и отрицательными показателями.

  4. Неверное приведение к стандартному виду.
    - Как проявляется: В задании 2.1 ученик записывает $275\,000 = 275 \cdot 10^3$ (мантissа больше 10) или $2{,}75 \cdot 10^6$ (ошибка на один порядок).
    - Причина: Непонимание условия $1 \le a < 10$. Ученик механически переносит запятую, не отсчитывая правильно количество разрядов.

  5. Забывают, что $(a^m)^n = a^{mn}$ при работе с отрицательными показателями.
    - Как проявляется: В задании 3.3 ученик вычисляет $(b^{-5})^{-2}$ как $b^{-5-2} = b^{-7}$ вместо $b^{(-5) \cdot (-2)} = b^{10}$.
    - Причина: Смешение правил: умножение показателей при возведении степени в степень путают со сложением показателей при умножении степеней.

  6. Потеря знака «±» в задании 8.
    - Как проявляется: Ученик решает квадратное уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$, находит $x = -2$ и $x = -4$, но в ответе записывает только одно значение.
    - Причина: Привычка решать линейные уравнения с одним корнем. Квадратное уравнение всегда имеет два корня (возможно, совпадающих), но ученики часто «теряют» второй корень при невнимательном разложении на множители.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно