Контрольная работа №1. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей

1. Найдите, при каких значениях переменной выражение имеет смысл:
$\dfrac{4}{x - 3}$
2. Выполните сокращение алгебраической дроби:
1) $\dfrac{10m^{8}n^{3}}{15m^{4}n^{4}}$ 2) $\dfrac{14xy - 21y}{7xy}$ 3) $\dfrac{m^2 - 3^2}{2m + 6}$ 4) $\dfrac{a^2 - 12a + 36}{36 - a^2}$.
3. Выполните вычитание:
1) $\dfrac{y - 8}{2y} - \dfrac{3 - 4y}{y^2}$ 2) $\dfrac{b}{b + 1} - \dfrac{b^2}{b^2 - 1}$ 3) $\dfrac{7}{a} - \dfrac{56}{a^2 + 8a}$ 4) $3x - \dfrac{15x^2}{5x + 2}$.
4. Упростите выражение:
1) $\dfrac{a + 9}{3a + 9} - \dfrac{a + 3}{3a - 3} + \dfrac{13}{a^2 - 9}$ 2) $\dfrac{4b^3 + 8b}{b^3 - 8} - \dfrac{2b^2}{b^2 + 2b + 4}$.
5. Найдите значение выражения, если известно, что $\frac{a - 3b}{b} = 4$:
1) $\dfrac{a}{b}$ 2) $\dfrac{4a + 5b}{a}$.
6. Постройте график функции:
$y = \dfrac{4x^2 - 3x}{x} - \dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 8-х классов, изучающих алгебру по программе УМК А.Г. Мерзляка.

Она охватывает начальный этап работы с рациональными дробями — одну из ключевых тем курса алгебры 8-го класса.

Работа проверяет понимание основного свойства дроби, умение выполнять тождественные преобразования (сокращение, приведение к общему знаменателю, сложение и вычитание), а также способность анализировать область допустимых значений переменной и строить графики упрощённых дробно-рациональных функций.

1. Обзор структуры работы

Тематический охват:

  • Область допустимых значений (ОДЗ) дробно-рационального выражения.
  • Сокращение алгебраических дробей с использованием вынесения общего множителя, формул сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат разности) и свойств степеней.
  • Приведение дробей к общему знаменателю и выполнение вычитания (включая случаи, когда одно из выражений — целое число или одночлен).
  • Упрощение выражений, состоящих из суммы и разности трёх дробей, с предварительным разложением знаменателей на множители.
  • Нахождение значения дробного выражения по заданному пропорциональному соотношению переменных.
  • Преобразование дробно-рациональной функции к линейному виду с учётом ОДЗ и построение её графика.

Распределение заданий:

  • Задания на прямое применение алгоритма (№ 1, 2, 3, 5): 4 комплексных задания (включающих несколько пунктов). Проверяют технику нахождения ОДЗ, сокращения, вычитания и подстановки.
  • Задания на комбинацию нескольких преобразований (№ 4, 6): 2 задания. Требуют разложения многочленов, приведения к общему знаменателю и анализа ограничений.

Цель работы: Проверить уровень освоения учащимися основного свойства рациональной дроби, умение выполнять тождественные преобразования (сокращение, приведение к общему знаменателю, сложение и вычитание), а также способность анализировать допустимые значения переменных и строить графики упрощённых дробно-рациональных функций.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с элементами повышенного уровня (задания 4 и 6).

Методика построения работы опирается на принцип поэтапного усложнения преобразований:

  1. Первый этап (Задание 1): Проверка самого простого, но критически важного навыка — определения ОДЗ. Ученик должен усвоить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это фундамент, на котором строится вся дальнейшая работа с дробями.

  2. Второй этап (Задание 2): Отработка техники сокращения. Задачи выстроены от простейшего сокращения числовых коэффициентов и степеней (п. 1) до выделения полного квадрата в числителе и перестановки слагаемых в знаменателе (п. 4). В пункте 4 учащийся должен заметить, что $36 - a^2 = -(a^2 - 36)$, и правильно вынести минус — это классическая «ловушка на знак», проверяющая понимание связи $(a-b) = -(b-a)$.

  3. Третий этап (Задание 3): Освоение алгоритма приведения к общему знаменателю при вычитании. Сложность нарастает от простых степенных знаменателей (п. 1) до случаев, когда необходимо разложить знаменатель на множители (п. 3: $a^2 + 8a = a(a+8)$). Пункт 4 показывает, как работать с целым выражением ($3x$), превращая его в дробь с нужным знаменателем.

  4. Четвёртый этап (Задание 4 — повышенный уровень): Синтез всех предыдущих навыков. Здесь требуется не просто привести дроби к общему знаменателю, но и предварительно разложить три различных знаменателя, а затем аккуратно раскрыть скобки в числителе. Это задание дифференцирует учащихся: те, кто формально запомнил алгоритмы, часто ошибаются в знаках или в приведении подобных слагаемых.

  5. Пятый этап (Задание 5): Переход от репродуктивного уровня к аналитическому. Ученик должен не просто выполнить действие по образцу, а выразить одну переменную через другую из заданного соотношения, а затем подставить результат в новое выражение. Это задание проверяет гибкость мышления.

  6. Шестой этап (Задание 6 — повышенный уровень): Аналитико-графический синтез. Учащийся должен увидеть, что за сложной дробной записью скрывается обычная линейная функция, но при этом не забыть про «выколотые точки». Это задание проверяет, сформировано ли понятие тождества с учётом ОДЗ, а не только механическое сокращение. График является визуальным индикатором корректности проведённого анализа.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ предложенных решений позволяет выделить следующие характерные ошибки, которые совершают восьмиклассники при выполнении подобной работы:

  1. Игнорирование ОДЗ или формальная запись перед сокращением.
    - Как проявляется: В задании 6 ученики сокращают $\frac{4x^2 - 3x}{x} = 4x - 3$, не фиксируя условие $x \neq 0$. В результате на графике прямая строится целиком, без выколотой точки.
    - Причина: Несформированность понятия «тождественно равные выражения». Учащиеся воспринимают сокращение как чисто арифметическое действие, теряя из виду, что области определения исходного и полученного выражений различны.

  2. Ошибки со знаком «минус» при перестановке членов в знаменателе.
    - Как проявляется: В задании 2.4 ученики часто записывают $\frac{a^2 - 12a + 36}{36 - a^2} = \frac{(a-6)^2}{(6-a)(6+a)}$ и затем «теряют» минус, сокращая $a-6$ и $6-a$ без учёта их противоположности. Правильный ответ $-\frac{a-6}{a+6}$ превращается в $\frac{a-6}{a+6}$.
    - Причина: Слабое понимание связи $(a-b) = -(b-a)$. Ученики часто не выносят минус за скобку явно, пытаясь сокращать разные выражения «на глаз».

  3. Приведение к общему знаменателю с ошибками в дополнительных множителях.
    - Как проявляется: В задании 3.1 ученик может взять знаменатель $2y^2$, но забыть умножить числитель второй дроби на 2, оставив его без изменения. Или в задании 4.1, найдя общий знаменатель $3(a-3)(a+3)$, ошибаются в умножении числителя третьей дроби (забывают умножить 13 на 3).
    - Причина: Механическое заучивание алгоритма без понимания, зачем нужен дополнительный множитель. Ученик концентрируется на поиске общего знаменателя, но теряет связь с числителями.

  4. Неверная работа с целым выражением при вычитании.
    - Как проявляется: В задании 3.4 вместо того, чтобы представить $3x$ как $\frac{3x(5x+2)}{5x+2}$, ученик пытается вычесть $\frac{15x^2}{5x+2}$ из $3x$, записывая результат $\frac{3x - 15x^2}{5x+2}$.
    - Причина: Непонимание того, что целое выражение — это дробь со знаменателем 1, и при вычитании её также нужно приводить к общему знаменателю.

  5. Потеря переменной при сокращении в выражениях с суммой в числителе.
    - Как проявляется: В задании 2.2 ученик может сократить $y$ в числителе и знаменателе, но забыть, что в числителе было два слагаемых ($14xy$ и $-21y$). Иногда сокращают только первое слагаемое.
    - Причина: Непонимание распределительного закона. Ученик не видит общий множитель $y$ во всей сумме, а пытается сокращать «по кусочкам».

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно