Контрольная работа №2. Умножение и преобразование рациональных дробей. Доказательство тождеств

1. Выполните действия:
1) $\dfrac{a^{2}b}{12c} \cdot \dfrac{16c}{ab^{2}}$ 2) $\dfrac{6(a − b)}{c^{2}} \cdot \dfrac{4c^{6}}{a^2 − b^2}$ 3) $\dfrac{28a}{c^{3}} \cdot (4a^{2}c)$ 4) $\dfrac{5(x − 2)}{2x + 3} \cdot \dfrac{x^2 − 2^2}{2(2x + 3)}$.
2. Упростите выражение:
1) $\dfrac{5b}{b − 3} − \frac{b + 6}{2(b − 3)} \cdot \frac{90}{b(b + 6)}$ 2) $\left(\frac{a − 8}{a + 8} - \frac{a + 8}{a − 8}\right) \cdot \dfrac{16a}{8^2 − a^2}$.
3. Докажите тождество:
$\left( \frac{t}{(t − 8)^2} - \frac{t + 4}{t^2 − 8^2} \right) : \dfrac{3t + 8}{t^2 − 8^2} = \dfrac{4}{t − 8}$
4. Найдите значение выражения, если известно, что $x^2 + \frac{9}{x^2} = 55$:
$x − \frac{3}{x}$
Открыть генератор

Данная контрольная работа предназначена для учащихся 8-х классов, изучающих алгебру по программе УМК А.Г. Мерзляка.

Это вторая контрольная работа в теме «Рациональные дроби», которая логически продолжает первую (основное свойство дроби, сложение и вычитание) и переходит к новым действиям — умножению и делению.

Работа проверяет не только техническое выполнение операций, но и умение видеть структуру выражения, раскладывать многочлены на множители и выполнять цепочки последовательных преобразований. Завершают работу задания повышенного уровня на доказательство тождества и нахождение значения выражения с помощью формулы квадрата двучлена.

1. Обзор структуры работы

Тематический охват:

  • Умножение алгебраических дробей (одночленные дроби, дроби с вынесением общего множителя, дроби с разностью квадратов, произведение дроби и одночлена).
  • Деление алгебраической дроби на одночлен.
  • Упрощение выражений, содержащих вычитание и умножение дробей (действия выполняются в определённом порядке).
  • Преобразование выражений с разностью дробей в скобках с последующим умножением на дробь.
  • Доказательство тождества, включающего деление рациональных дробей и разложение квадратного трёхчлена.
  • Нахождение значения выражения вида $x \pm \frac{k}{x}$ по известному значению выражения $x^2 + \frac{k^2}{x^2}$.

Распределение заданий:

  • Задания на прямое применение алгоритмов умножения и деления (№ 1): 4 пункта. Проверяют умение сокращать степени, выносить общий множитель, применять формулы сокращённого умножения и работать с целыми выражениями как дробями.
  • Задания на комбинацию действий с учётом порядка операций (№ 2): 2 пункта повышенного уровня. Требуют сначала выполнить умножение, затем вычитание (или наоборот — вычитание в скобках, затем умножение).
  • Задания на доказательство тождества (№ 3): 1 пункт повышенного уровня. Проверяет способность выполнять цепочку преобразований с делением и разложением многочленов.
  • Задание на применение формул квадрата двучлена (№ 4): 1 пункт повышенного уровня. Проверяет умение «свернуть» выражение по формуле и извлечь квадратный корень.

Цель работы: Проверить уровень освоения учащимися операций умножения и деления рациональных дробей, умение выполнять преобразования в правильном порядке (с учётом приоритета действий), а также способность доказывать тождества и находить значения выражений, используя формулы сокращённого умножения.

2. Уровень сложности и методика

Общий уровень сложности контрольной работы классифицируется как базовый с элементами повышенного уровня (задания 2, 3 и 4).

Методика построения работы опирается на принцип последовательного усложнения операций и увеличения числа преобразований:

  1. Первый этап (Задание 1, пункты 1–2): Отработка простейших случаев умножения и деления. Учащийся работает с одночленными дробями и применяет свойства степеней. Ошибки здесь минимальны при хорошей вычислительной культуре.

  2. Второй этап (Задание 1, пункты 3–4): Введение дополнительных структурных элементов. В пункте 3 появляется умножение дроби на одночлен (требуется представить одночлен как дробь). В пункте 4 — умножение дробей, числители и знаменатели которых требуют предварительного разложения на множители (вынесение общего множителя, разность квадратов). Это первый шаг к анализу структуры выражения.

  3. Третий этап (Задание 2 — повышенный уровень): Учёт порядка действий. В пункте 2.1 нужно сначала выполнить умножение двух дробей, а затем — вычитание. В пункте 2.2 — сначала вычитание в скобках (приведение к общему знаменателю), затем умножение на внешнюю дробь. Ученик должен осознать, что преобразования выполняются не «подряд слева направо», а по правилам приоритета.

  4. Четвёртый этап (Задание 3 — повышенный уровень): Доказательство тождества с делением. Здесь ученик должен увидеть, что знаменатели раскладываются на $(m-8)^2$ и $(m-8)(m+8)$, а деление на $\frac{3m+8}{m^2-64}$ заменяется умножением на обратную дробь. Это задание проверяет способность выстраивать длинную логическую цепочку преобразований.

  5. Пятый этап (Задание 4 — повышенный уровень): Применение формулы квадрата двучлена «в обратную сторону». Ученик получает сумму квадратов $x^2 + \frac{k^2}{x^2}$ и должен догадаться, что $\left(x - \frac{k}{x}\right)^2$ разворачивается именно в это выражение минус $2k$. Это задание выявляет гибкость мышления и умение видеть знакомые структуры в нестандартной записи.

3. Типичные ошибки учеников

Анализ решений позволяет выделить следующие характерные ошибки, которые совершают восьмиклассники при выполнении подобной работы:

  1. Потеря знака «минус» при делении на одночлен.
    - Как проявляется: В задании 1.2 (если бы оно было на деление) ученик вместо того, чтобы умножить на обратную величину, ошибочно «переворачивает» только часть выражения. В текущей версии задания 1.2 — умножение, поэтому эта ошибка актуальна для аналогичных работ, где есть деление.
    - Причина: Несформированность навыка деления дроби на одночлен как умножения на обратную величину. Ученик пытается применять правило «деление заменяем умножением, переворачивая вторую дробь», но не видит, что одночлен — это дробь со знаменателем 1.

  2. Неправильное разложение разности квадратов при наличии общего множителя.
    - Как проявляется: В задании 1.3 ученик может записать $x^2 - y^2 = (x-y)^2$ вместо $(x-y)(x+y)$. Или, вынося общий множитель $7(x+y)$, забывает, что в знаменателе остаётся $x-y$.
    - Причина: Смешение двух формул: квадрата разности и разности квадратов. Ученики часто путают $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

  3. Ошибки в порядке действий (умножение выполнено раньше вычитания без приведения к общему знаменателю).
    - Как проявляется: В задании 2.1 ученик может попытаться сразу вычесть дроби, не выполнив сначала умножение $\frac{b+6}{2b-6} \cdot \frac{90}{b^2+6b}$.
    - Причина: Непонимание приоритета операций: умножение имеет более высокий приоритет, чем вычитание. Ученик воспринимает выражение как «дробь минус дробь», не замечая, что вторая дробь — результат произведения.

  4. Потеря знака при умножении на дробь с $d^2 - a^2$ вместо $a^2 - d^2$.
    - Как проявляется: В задании 2.2 ученик, получив в скобках $\frac{-32a}{a^2-64}$, умножает на $\frac{16a}{64-a^2}$ и забывает, что $64-a^2 = -(a^2-64)$. В результате знак в ответе оказывается неверным.
    - Причина: Неавтоматизированный навык вынесения минуса за скобку. Ученик видит разные записи знаменателя, но не переворачивает знак дроби.

  5. Забывают про ОДЗ при сокращении в тождествах.
    - Как проявляется: В задании 3 ученик сокращает $(m-8)$ и $(3m+8)$, не выписывая условия $m \ne 8$ и $m \ne -\frac{8}{3}$.
    - Причина: Формальное выполнение преобразований без осознания, что сокращение возможно только при ненулевых значениях сокращаемых множителей.

  6. Потеря знака «±» в задании 4.
    - Как проявляется: Ученик находит $x - \frac{3}{x} = 7$ и не записывает второй возможный корень $-7$.
    - Причина: Привычка работать с арифметическим квадратным корнем (неотрицательным значением). В алгебраических выражениях квадрат числа даёт два возможных значения исходной величины.

Генерация вариантов и ответы

Приглашаем попробовать сервис в период раннего доступа

Попробовать бесплатно